第二节 特征值和特征矢量
一、 矩阵的特征值
若矩阵右乘1个矢量后得到的新矢量恰好与原矢量成比例，则称该比例常数为这个矩阵的1个特征值，称该矢量为对应于这个特征值的特征矢量。例如有矩阵A
A= 
具有性质：
  =4× 
表明矩阵A有1个特征值为4，相应特征矢量为（2 1 0）T。
矩阵A的特征值 和对应的右特征矢量q的代数方程是：
A·q= ·q,
该方程是可相乘的，所以A必定是方阵，因此只有方阵才有特征值。
当A是n阶方阵时，上述方程的一般形式为：
（A- ·I）·q=0
任何非平凡解（q=0为平凡解）都必须满足：
 =0
此特征方程有一般形式：
 
据此求解特征值的方法并不是一个好方法。
特征值具有下列性质：
（1） 特征方程可以分解因式为：
     （A-3）
即n阶矩阵有n个（可相等也可不相等）特征值。
（2） 矩阵对角元素之和称叫该矩阵的迹（trace）,记作tr（A）：
tr(A)= ，
即矩阵特征值的和等于该矩阵的迹。
（3）  ，
即矩阵特征值的乘积等于该矩阵行列式的值。如果矩阵是奇矩阵，则矩阵中至少有一个特征值为0。
（4） 矩阵行列式的值与它的转置矩阵的行列式值相等，因而转置矩阵有相同的特征值。
（5） 一个实矩阵得到的特征方程必定有实系数。因此实矩阵的特征值必定是实数或是共轭复数。
（6） 实对称矩阵A的所有特征值都必定是实数。这也就是说可用实数形式写出其特征矢量。
（7） 三角矩阵的行列式值是其对角元素的乘积。如果A是三角阵，则：
 
与式（A-3）比较可见，三角矩阵的特征值（对角矩阵也同样）等于其对角元素。
（8） 如果矩阵的行及对应的列之间同时交换，则其特征值保持不变。
（9） 如果矩阵某行乘以f且对应列乘以１／f，则矩阵的特征值不变。
二、 矩阵的特征矢量
除亏损矩阵（矩阵有2个或更多个相等的特征值只对应一个左

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